Latihan 3 Soal Diktat

Tugas PDM

LATIHAN 3

DIKTAT HALAMAN 9

1.       Misalkan A = {a, b, c, d}

a.       Tulislah semua himpunan bagian dari A.

b.      Berapakah banyaknya himpunan bagian dari A.

2.       Apakah setiap himpunan mempunyai himpunan bagian sejati ?

3.       Misalkan P adalah himpunan, jika P ⊂ ⌀, buktikanlah bahwa P = ⌀.

4.       Misalkan A, B, dan C masing – masing adalah himpunan, jika A ⊂ B dan B ⊂ C, buktikan bahwa A ⊂ C.

5.       Misalkan A = {{3}, {4, 5}, {1, 3}}, pernyataan – pernyataan manakah yang benar ? Mengapa ?

a.       {1, 3} ⊂ A               

b.      {4, 5} ⊂ A

c.       {3} ⊂ A

d.      {{1, 3}} ⊂ A

6.       Yang manakah diantara himpunan – himpunan berikut yang sama ?

a.       {a, b, c}

b.      {c, b, a, c}

c.       {b, c, b, a}

d.      {c, a, c, b}

7.       Manakah himpunan – himpunan berikut yang sama ?

a.       {x│x² – 3x + 2 = 0, x bilangan real},

b.      {1, 2, 1, 2},

c.       {x│x dua bilangan asli yang pertama}.

8.       Yang manakah diantara himpunan – himpunan berikut yang himpunan kosong ?

a.       {x │x bilangan prima genap},

b.      {x │ x bilangan ganjil yang habis dibagi 2},

c.       {x │x² – 3x + 5 = 0, x bilangan real},

d.      {x │x + 8 = 8},

e.      {x │ x + 4 = 1; X miamian nen},

f.        {x │x segitiga sama kaki tumpul},

g.       {x │x persegi panjang yang belah ketupat}.

9.       Himpunan manakah yang berhingga dan tak berhingga ?

a.       {1, 2, 3, ...., 10.000},

b.      {x │x bilangan genap},

c.       {penduduk bumi},

d.      {1, 2, 3, .....}.

10.   Diketahui B = {1, 3, 5, 7}. Pernyataan di bawah ini manakah yang benar ?

a.       {1, 3} ϵ 2^B

b.      B ϵ 2^B

c.       {} ϵ 2^B

d.      B ⊂ 2^B

e.      {3, 7} ⊂ 2^B

f.        {{5, 7}} ⊂ 2^B

11.   Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5, .....}, B = {2, 4, 6, 8, .....}, dan C = { ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....}.

Tunjukkan bahwa :

a.       A ∞ B

b.      A ∞ C

12.   Diketahui M = {x │x bilangan asli genap kurang dari 100}, N = {x│x bilangan cacah ganjil kurang dari 99}. Apakah MN? Jelaskanlah !

13.   Diketahui A = himpunan segi empat; B = himpunan persegi panjang; C = himpunan 

Penyelesaian

1.       Diketahui A = {a, b, c, d}

a.       Himpunan bagian dari A = { }, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d},

{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}.

b.      Banyaknya himpunan bagian A yaitu 16.
Setiap himpunan mempunyai himpunan bagian, tapi setiap himpunan tidak mempunyai himpunan bagian sejati karena dalam setiap himpunan terdapat himpunan bagian yang anggotanya sama dengan himpunan yang diketahui. Dari definisi himpunan bagian sejati diketahui bahwa misalkan A dan B suatu himpunan, maka A dikatakan merupakan himpunan bagian sejati dari B jhj A⊂B dan B ⊄A, jadi jika himpunan A sama dengan himpunan B maka A⊂B dan B⊂A, akibatnya himpunan A bukan himpunan bagian sejati dari B.

2.       Diketahui P⊂∅, akan dibuktikan bahwa P = ∅

Bukti,

Jika P ⊂∅ maka ∀x ϵP, xϵ ∅

Jadi x = ∅

Jadi P = ∅

Jadi terbukti bahwa P = ∅.

3.       Diketahui himpunan A, B, C. A ⊂B dan B ⊂C, akan dibuktikan bahwa A ⊂C

Bukti,

A ⊂B = ∀x ϵ A maka x ϵ B

B ⊂C = ∀x ϵ B maka x ϵ C

A ⊂B dan B ⊂C = (∀x ϵ A maka x ϵ B) dan (∀x ϵ B maka x ϵ C)

                               = ∀x ϵ A maka x ϵ C

                               = A ⊂ C (dari definisi himpunan bagian)

Jadi terbukti bahwa A ⊂C.

4.       Diketahui A = {{3}, {4, 5}, {1, 3}}

a.       {1, 3} ⊂A salah karena {1, 3} hanya menyatakan anggota, bukan menyatakan himpunan bagian.

b.      {3} ⊂A salah karena {3} hanya menyatakan anggota, bukan menyatakan himpunan bagian.

c.       {4, 5} ϵ A benar karena {4, 5} merupakan anggota dari A

d.      {{1, 3}} ⊂ A benar karena {{1, 3}} merupakan himpunan bagian dari A.

5.       Diketahui

a.       {a, b, c}

b.      {c, b, a, c}

c.       {b, c, b, a}

d.       {c, a, c, b}

Dua himpunan dikatakan sama jika mempunyai anggota yang sama. Jadi di antara himpunan – himpunan tersebut yang sama adalah a dan c, b dan d.

6.       Diketahui

a.       {1, 2}

b.      {1, 2, 1, 2}

c.       {1, 2}

Di antara himpunan – himpunan tersebut yang sama adalah a, b, c karena ketiganya mempunyai anggota yang sama

7.       Jawab :

a.       {2}

b.      ∅

c.       ∅

d.      {0}

e.      {-3}

f.        Ada yaitu manakala jumlah kedua sudut yang sama kurang dari

g.       ∅  karena belah ketupat mempunyai keempat sisi yang sama panjang dan diagonal yang saling tegak lurus, sedangkan persegi panjang mempunyai sisi yang tidak sama panjang dan diagonal yang sama panjang tapi belum tentu saling tegak lurus.

8.       Diketahui

a.       {1, 2, 3, ...., 10.000},

b.      {x │x bilangan genap},

c.       {penduduk bumi},

d.      {1, 2, 3, .....}.

Yang merupakan himpunan berhingga adalah a dan c karena masih bisa dihitung,

Yang merupakan himpunan tak berhingga adalah b dan d karena masih tidak bisa dihitung atau dengan kata lain tidak ada batasannya.

9.       Diketahui B = {1, 3, 5, 7}

2^B = {∅, {1}, {3}, {5}, {7}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {1, 5, 7},

         {3, 5, 7}, {1, 3, 5, 7}}

a.       {1, 3} ϵ 2^B benar

b.      B ϵ 2^B, {1, 3, 5, 7} ϵ 2^B benar

c.       {} ϵ 2^B benar

d.      B ⊂ 2^B salah

e.      {3, 7} ⊂ 2^B salah

f.        {{5, 7}} ⊂ 2^B benar

10.       Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5, .....}, B = {2, 4, 6, 8, .....}, dan C = { ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....}.

a.    Akan ditunjukkan A ∞B

      A = 1  2  3  4  5  ....  n

             ↕  ↕  ↕   ↕  ↕         ↕

      B = 2  4  6  8  10 .... 2n

      Jadi A dan B berkorespondensi satu – satu sehingga A ∞ B

b.    Akan ditunjukkan A ∞C

A =  1   2   3   4   5  ....  n

         ↕  ↕  ↕   ↕  ↕         ↕

C = -3  -2  -1 0   1   .... (n-4)

Jadi A dan B berkorespondensi satu – satu sehingga A ∞ C