LATIHAN 4
DIKTAT HALAMAN 15
1. Letakan lambang “⊂”, atau lambang “=” di antara sebanyak mungkin pasangan pasangan
himpunan – hinpunan di bawah ini :
2. Nyatakanlah
apakah masing – masing pernyataan berikut ini benar atau salah.
3.
Gambarlah diagram – diagram Venn untuk himpunan – himpunan itu dan jelaskan arti dari I⋂K seperti yang terdapat dalam gambarmu.
Gambarlah diagram – diagram Venn untuk himpunan – himpunan itu dan jelaskan arti dari I⋂K seperti yang terdapat dalam gambarmu.
4. X adalah himpunan
bilangan kelipatan 6 yang kilning dari 35. Y adalah himpunan kelipatan 8 yang
kurang dari 35. Sebutkanlah anggota – anggota X, Y, dan X⋂Y. Dengan mengabaikan nol dalam X⋂Y, kiya peroleh
kelipatan persekutuan terkecil dari 6 dan 8. Sebutkan KPK itu !
5. Dalam suatu kelas
yang terdiri atas 20 murid, 15 murid memilih matematika, 12 murid memilih Ilmu
Pengetahuan Alam, dan 10 murid Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam.
Tunjukkanlah keerangan ini dalam diagram Venn. Berapakah murid yang tidak
memilih Matematika maupun Ilmu Pengetahuan Alam ?
6. Diadakan
pencatatan tentang yang biasa diminum sehari – hari oleh 180 murid. 100 anak
minum teh, 92 anak minum kopi, dan 115 anak minum susu, sedang 25 anak minum
ketiga – tiganya.
a.
Dengan menggunakan T, K, dan S untuk himpunan
peminum teh, kopi, dan susu, gambarlah keterangan ini dalam diagram Venn.
Tunjukkanlah terlebih dahulu banyaknya anak yang minum baik teh maupun kopi,
dan susu.
b.
Berapa kali banyaknya anak yang minum kopi,
tetapi tidak minum teh maupun susu ?
c.
Berapakah banyaknya anak yang hanya minum susu
saja ?
d.
Berapakah banyaknya anak yang hanya minum teh
saja ?
1. A
= {0, 1, 2, 3}, B = {1, 3, 5, 7}, dan C = {2, 3, 5, 8}.
a.
Nyatakanlah masing – masing himpunan di bawah
ini dengan menyebutkan semua anggotanya.
(1)
A ⋃B
(2)
A ⋃C
(3)
B ⋃C
(4)
A ⋃
A
(5)
A ⋂B
b.
Dengan menggunakan himpunan – himpunan pada soal
6. A nyatakanlah masing – masing himpunan di bawah ini dengan menyebutkan semua
anggota – anggotanya.
(1)
(A ⋃B)
⋃C
(2)
A ⋃(B⋃C)
Apakah
yang kamu lihat pada jawabannya ?
2. Gambarlah
diagram Venn bagi tiap bentuk berikut ini, dan masukkanlah banyaknya elemen
dalam daerah tergambar. Kemudian hitunglah banyaknya elemen yang ditanyakan.
a.
n(A)=50, n(B)=62, dan n (A⋂B)=26.
b.
Hitunglah n(A ⋃B).
c.
n(X)=7, n(Y)=11, X dan Y terpisah.
d.
Hitunglah n(X ⋃Y).
e.
n(P)=23, n(Q)=25, dan P⊂Q.
f.
Hitunglah n(P ⋃Q).
3. A
dan B adalah himpunan sedemikian hingga n(A)= p + q, n(B)=q +r, dan n(A⋂B)= q.
a.
Gambarlah himpunan – himpunan ini dalam
diagram Venn dan masukkanlah banyaknya anggota dalam tiap daerah.
Hitunglah :
(1)
n(A⋃B),
(2)
n(A) + n(B) – n(A⋂B),
kemudian
tunjukkan bahwa n(A ⋃B)=
n(A) + n(B) – n(A⋂B).
b.
Kalau A dan B saling asing, bagaimanakah
hasil dalam b?
4. Misalkan
A, B, dan C himpunan – himpunan. Buktilanlah :
a.
(A-B)⊂A
b.
(A-B), A⋂B, dan (B-A) saling lepas
c.
Jika A ⊂B maka A⋃(B-A)=B
d.
(A-B) ⋂B = ∅.
5. Misalkan
U = {1, 2, 3,....., 9}, A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 6, 8}, dan C={3, 4, 5, 6}.
Carilah :
a.
A’
b.
B’
c.
C’
d.
(A⋃C)’
e.
(A⋂B)’
f.
(B-C)’
6. Andaikan
A= {a, b}, B={1, 2}, dan C={3, 4}. Carilah :
a.
Ax(B⋃C)
b.
(AxB)⋃(AxC)
c.
(AxB)xC
d.
Ax(B⋂C)
e.
(AxB)⋂(AxC)
7. Pernyataan
di bawah ini manaah yang benar :
a.
Jika x ϵ(A⋂B)
maka xϵ
A
b.
Jika
x ϵ(A⋂B) maka x ϵ B
c.
Jika x ϵ(A ⋃
B) maka x ϵ
A
d.
Jika x ϵA, maka x ϵ (A⋂B)
e.
Jika x ϵ A maka x ϵ(A ⋃
B)
f.
Jika x ϵ(A-B) maka x ϵ A
g.
Jika
x ϵ
A maka x∉
A
h.
Jika xϵA’ maka x ∉ A
8. Tentukan
syarat agar pernyataan di bawah ini benar.
a.
Jika x ϵ (M ⋃
N) maka x ϵ
N
b.
Jika xϵ M maka x ϵ(M ⋂
N)
9. Isilah
titik-titik di bawah ini sehingga menjadi pernyataan yang benar.
a.
Jika M ⊂N maka :
(1)
M ⋂
N = .....
(2)
M ⋃
N = .....
(3)
M-N = ......
(4)
M ⋃
(N-M) = ......
b.
Jika M ≠ ∅, N ≠ ∅, dan M-N=, maka M ⋂ N = .....
10. Di
dalam diagram Venn pada gambar di bawah ini arsirlah :
a.
B’
b.
(A
⋃
B)’
c.
(B-A)’
d.
A’⋂B’
PENYELESAIAN LATIHAN
4
5. Penyelesaian
Yang
memilih matematika saja
15 – 10 = 5
Yang
memilih ipa saja
12 – 10 = 2
Yang
memilih matematika maupun ipa
20 – 5 – 2 – 10 = 3
7.
Diketahui A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 3, 5, 7}, dan C = {2, 3, 5,
8}.
a. Jawab
(1)
A⋃B
= {0, 1, 2, 3, 5, 7}
(2)
A⋃C
= {0, 1, 3, 5, 8}
(3)
B⋃C
= {1, 2, 3, 5, 7, 8}
(4)
A⋃A
= {0, 1, 2, 3}
(5)
A⋂B
= {1, 3}
b. Jawab
(1) (A⋃B)⋃C = {0, 1, 2, 3, 5, 7,
8}
(2) A⋃(B⋃C) = {0, 1, 2, 3, 5, 7,
8}
(A⋃B)⋃C = A⋃(B⋃C)
8. Gambar diagram
Venn
a. n(A)=50,
n(B)=62, dan n (A⋂B)=26.
a. n(A
⋃B)
= 50+62-26 = 86
b. n(X)=7,
n(Y)=11, X dan Y terpisah
a. n(X⋃ Y) = 7+11 = 18
b. n(P)=23,
n(Q)=25, dan P⊂Q
a.
n(P⋃
Q) = 25+23-23 = 25
9. A dan B adalah himpunan sedemikian hingga
n(A)= p + q, n(B)=q +r, dan n(A⋂B)=
q.
a.
Diagram Venn
(1) n(A⋃B) = (p+q-q)+q+(q+r-q)
=
p+q+r
(2) n(A)
+ n(B) – n(A⋂B)
= (p+q) + (q+r)- q
= p+q+r
Dengan demikian ditunjukkan
bahwa n(A ⋃
B)= n(A) + n(B) – n(A⋂B).
10. Diketahui A, B, dan C himpunan – himpunan.
Buktilanlah :
a.
(A-B) ⊂A
Bukti,
A-B ⊂A
jhj A ⊂A
dan B’ ⊂A
Jelas A-B = A⋂B’ ( by the definition
)
(A ⋂B’) ⊂A (suubstitusi) (A ⊂A)
⋂(B’
⊂A)
(distribusi) A ⊂A
dan B’ ⊂A
(definisi irisan)
Jadi dapat disimpulkan bahwa (A-B) ⊂A.
b.
(A-B), A⋂B, dan (B-A) saling lepas
(A-B), A⋂B, dan (B-A) saling lepas jhj (A-B) ⋂(A⋂B) = ∅,(AB) ⋂ (B-A)=∅ dan (A-B)⋂ (B-A) = ∅
Bukti ,
#(A-B) ⋂(A⋂B)
= (A⋂B’)
⋂
(A⋂B)
=
(A⋂B’⋂ A) ⋂(B’⋂ A ⋂ B)(dist)
=(A⋂A⋂B’) ⋂ (B’⋂B⋂A)(kom)
= (A⋂B’) ⋂ (∅⋂A)(idem, komp)
= (A⋂B’)
⋂
∅(id)
= ∅(id)
#(A⋂B) ⋂ (B-A) = (A⋂B) ⋂ (B⋂A’)
=
A⋂B
⋂B
⋂A’(ass)
=
A⋂A’⋂B(kom, idem)
=∅⋂B(komp)
= ∅(id)
#(A-B) ⋂ (B-A)
= (A⋂B’)
⋂
(B⋂A')
= A⋂B’
⋂
B⋂A' (ass)
= (A⋂A’)
⋂ (B’⋂B)(kom)
= ∅⋂∅ (komp)
=∅ (idem)
Jadi
(A-B) ⋂
(A⋂B)
= ∅,(A⋂B) ⋂ (B-A)=∅ dan (A-B) ⋂ (B-A) =∅
Jadi (A-B), A⋂B, dan (B-A) saling
lepas
c.
Jika A ⊂B maka A⋃(B-A)=B
Bukti,
A⋃
(B-A)= A ⋃
(B⋂A’)
= (A ⋃B)
⋂(A⋃A’)(dist)
= B⋂B (diketahui A ⊂B)
=B(idem)
d.
(A-B) ⋂B = ∅
Bukti,
(A-B) ⋂B = (A⋂B’)
⋂B
= A⋂B’⋂B(ass)
= A⋂∅(komp)
= ∅(id)
11. Jawab
a.
A’={5, 6, 7, 8, 9}
b.
B’={1, 3, 5, 7, 9}
c.
C’={1, 2, 7, 8, 9}
d.
A ⋃C
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(A ⋃C)’=(7,
8, 9}
e.
(A⋂B)={2,
4}
(A⋂B)’={1,
3, 5, 6, 7, 8, 9}
f.
(B-C)={2, 8}
(B-C)’={1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
12. A={a,
b}, B={1, 2}, C={3, 4}
a.
Ax(B⋃C)=
{a, b}x{1, 2, 3, 4}
={(a,1),
(a, 2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4)}
b.
(AxB)⋃(AxC)={(a,1), (a,2),
(b,1), (b,2)}⋃ {(a,3), (a,4), (b,3), (b,4)}
={(a,1), (a, 2), (a,3),
(a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4)}
c.
(AxB)xC ={(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}x{3,4}
={(a,1,3), (a,1,4),
(a,2,3), (a,2,4), (b,1,3), (b,1,4), (b,2,3), (b,2,4)}
d.
Ax(B⋂C)
= {a,b}x{ }
= {a,b}
e.
(AxB) ⋂ (AxC) = {(a,1), (a,2),
(b,1), (b,2)} ⋂{(a,3), (a,4), (b,3), (b,4)}
= ∅
13. Jawab
a.
Benar
b.
Benar
c.
Salah
d.
Salah
e.
Benar
f.
Benar
g.
Salah
h.
Benar
14.
Syarat agar pernyataan tersebut benar :
a.
M ⊂N
b.
M ⊂ N
15. Jawab:
a.
Jika M ⊂N maka :
(1) M
⋂
N = M
(2) M
⋃
N = N
(3) M-N
= ∅
(4) M ⋃ (N-M) =N
b.
Jika M ≠ ∅, N ≠ ∅, dan M-N=, maka M ⋂ N = .....
Tidak ada komentar:
Posting Komentar