Pembuktian Teorema Himpunan

               1. Bukti tereoma AUB = BUA

Pilih sembarang elemen x. Kemudian, menurut difinisi himpunan gabungan

AUB = x ϵ(AUB) = xϵA ˅ xϵB

   xϵA ˅ xϵB  .................................................menurut komutatif dari ˅

   xϵB ˅ xϵA

   xϵ BUA.......................................................menurut definisi dari himpunan gabungan 

Akibatnya, setiap elemen merupakan anggota AUB dan juga BUA.

Sehingga AUB = BUA

                 

        2.  Bukti bahwa A∩B = B∩A

             Pilih sembarang elemen x. Kemudian, menurut definisi himpunan irisan

             A∩B = xϵ (A∩B) = xϵA ˄ xϵB

   <=> xϵA ˄ xϵB

   <=> xϵB ˄ xϵA ............komutatif dalam aturan logika

   <=> B∩A

            jadi, A∩B = B∩A

        

        3. Bukti bahwa (AUB) UC = AU(BUC)

            (AUB) UC = xϵ (AUB) U C

   <=> xϵ(AUB) ˅ xϵC

   <=> (xϵA ˅ xϵB) ˅ xϵC

             <=>    xϵA ˅ (xϵB ˅ xϵC)..............asosiatif dalam aturan logika

   <=> xϵA ˅ xϵ(BUC)

   <=> xϵ AU(BUC)

            <=>    AU(BUC)

             jadi, (AUB) UC = AU(BUC)

        4.  Bukti bahwa (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

             (A∩B)∩C = xϵ(A∩B)∩C

   <=> xϵ(A∩B) ˄ xϵC

   <=> (xϵA ˄ xϵB) ˄ xϵC

   <=> xϵA ˄ (xϵB ˄ xϵC)...............asosiatif dalam aturan logika

   <=> xϵA ˄ xϵ(B∩C)

   <=> xϵ A∩(B∩C)

   <=> A∩(B∩C)

          jadi, (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

        5. Bukti teorema AU (B∩C) = (AUB) ∩ (AUC)

             Menurut persamaan persamaan himpunan tersebut, kita akan membuktikan bahwa

            ∀x| xϵ AU (B∩C)   jika dan hanya jika   x ϵ (AUB) ∩ (AUC)

                xϵ AU (B∩C)  

 xϵA ˅ xϵ(B∩C)........menurut definisi U

 xϵA ˅( xϵB ˄ xϵC)  ....menurut definisi ∩

 (xϵA ˅ xϵB) ˄ (xϵA ˅ xϵC).......menurut definisi dari aturan pengganti logika (distributif)

 (xϵ AUB) ˄ (xϵ AUC)

 xϵ (AUB) ∩ (AUC)

jadi, jelas AU (B∩C) = (AUB) ∩ (AUC)

         6. Bukti bahwa A∩(BUC) = (A∩B) U (AUC)

             A∩(BUC) = xϵ A∩(BUC)

   xϵA ˄ xϵ(BUC)

   xϵA ˄ (xϵB ˅ xϵC)

   (xϵA ˄ xϵB) ˅ (xϵA ˄ xϵC)...........distributif dalam aturan logika

   xϵ(A∩B) ˅ xϵ(A∩C)

   xϵ (A∩B)U(A∩C)

   (A∩B)U(A∩C)

jadi, A∩(BUC) = (A∩B) U (AUC)