Bab I
I. Konsep Logika
Apakah logika itu ?
Seringkali Logika didefinisikan sebagai ilmu untuk berfikir dan menalar dengan benar (sehingga didapatkan kesimpulan yang absah). Manusia mampu mengembangkan pengetahuan karena mempunyai bahasa dan kemampuan menalar. Untuk dapat menarik konklusi yang tepat, diperlukan kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada, dan menurut aturan-aturan tertentu.
II. Pentingnya Belajar Logika
Belajar logika (logika simbolik) dapat meningkatkan kemampuan menalar kita, karena dengan belajar logika :
a. Kita mengenali dan menggunakan bentuk-bentuk umum tertentu dari cara penarikan konklusi yang absah, dan menghindari kesalahan-kesalahan yang bisa dijumpai.
b. Kita dapat memperpanjang rangkaian penalaran itu untuk menyelesaikan problem-problem yang lebih kompleks.
III. Sejarah Ringkas dan Perkembangan Logika
Manusia belajar logika sejak jaman Yunani Kuno. Aristoteles (384 - 322 SM) adalah seorang filsuf yang mengembangkan logika pada jaman itu, yang pada waktu itu dikenal dengan sebutan logika tradisional.
Terdapat 5 aliran besar dalam logika, yaitu :
1. Aliran Logika Tradisional
Logika ditafsirkan sebagai suatu kumpulan aturan praktis yang menjadi petunjuk pemikiran.
2. Aliran Logika Metafisis
Susunan pikiran itu dianggap kenyataan, sehingga logika dianggap seperti metafisika. Tugas pokok logika adalah menafsirkan pikiran sebagai suatu tahap dari struktur kenyataan. Sebab itu untuk mengetahui kenyataan, orang harus belajar logika lebih dahulu.
3. Aliran Logika Epistemologis
Dipelopori oleh Francis Herbert Bradley (1846 - 1924) dan Bernard Bosanquet (1848 - 1923). Untuk dapat mencapai pengetahuan yang memadai, pikiran logis dan perasaan harus digabung. Demikian juga untuk mencapai kebenaran, logika harus dihubungkan dengan seluruh pengetahuan lainnya.
4. Aliran Logika Instrumentalis (Aliran Logika Pragmatis)
Dipelopori oleh John Dewey (1859 - 1952). Logika dianggap sebagai alat (instrumen) untuk memecahkan masalah.
5. Aliran Logika Simbolis
Dipelopori oleh Leibniz, Boole dan De Morgan. Aliran ini sangat menekankan penggunaan bahasa simbol untuk mempelajari secara terinci, bagaimana akal harus bekerja. Metode-metode dalam mengembangkan matematika banyak digunakan oleh aliran ini, sehingga aliran ini berkembang sangat teknis dan ilmiah serta bercorak matematika, yang kemudian disebut Logika Matematika (Mathematical Logic). G.W. Leibniz (1646 - 1716) dianggap sebagai matematikawan pertama yang mempelajari Logika Simbolik.
Pada abad kesembilan belas, George Boole (1815 - 1864) berhasil mengembangkan Logika Simbolik. Bukunya yang berjudul Low of Though mengembangkan logika sebagai sistem matematika yang abstrak. Logika Simbolik ini merupakan logika formal yang semata-mata menelaah bentuk dan bukan isi dari apa yang dibicarakan.
Karena akan dibahas banyak mengenai Logika Simbolik maka berikut ini disampaikan dua pendapat tentang Logika Simbolik yang merangkum keseluruhan maknanya.
1. Logika simbolik adalah ilmu tentang penyimpulan yang sah (absah), khususnya yang dikembangkan dengan penggunaan metode-metode matematika dan dengan bantuan simbol-simbol khusus sehingga memungkinkan seseorang menghindarkan makna ganda dari bahasa sehari-hari (Frederick B. Fitch dalam bukunya “Symbolic Logic”).
2. Pemakaian simbol-simbol matematika untuk mewakili bahasa. Simbol-simbol itu diolah sesuai dengan aturan-aturan matematika untuk menetapkan apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah.
Studi tentang logika berkembang terus dan sekarang logika menjadi ilmu pengetahuan yang luas dan yang cenderung mempunyai sifat teknis dan ilmiah. Aljabar Boole, salah satu topik yang merupakan perluasan logika (dan teori himpunan), sekarang ini digunakan secara luas dalam mendesain komputer. Penggunaan simbol-simbol Boole dapat mengurangi banyak kesalahan dalam penalaran. Ketidakjelasan berbahasa dapat dihindari dengan menggunakan simbol-simbol, karena setelah problem diterjemahkan ke dalam notasi simbolik, penyelesaiannya menjadi bersifat mekanis. Tokoh-tokoh terkenal lainnya yang menjadi pendukung perkembangan logika simbolik adalah De Morgan, Leonard Euler (1707 - 1783), John Venn (1834 - 1923), Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell (1872 - 1970).
.Kalimat Terbuka
Kalimat-kalimat seperti a sampai dengan e di atas disebut kalimat terbuka. Jika variabel dalam kalimat terbuka sudah diganti dengan konstanta yang sesuai, maka kalimat yang terjadi dapat disebut kalimat tertutup.
Definisi : Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel, dan jika variabel tersebut diganti konstanta dari semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi kalimat yang bernilai benar saja atau bernilai salah saja (pernyataan).
Kalimat terbuka seperti c, d, dan e, disebut kalimat matematika (ada yang menyebut kalimat bilangan). Kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda “=” seperti kalimat c dan d disebut persamaan. Kalimat e yang menggunakan tanda “<” disebut pertidaksamaan (sebutan ini juga berlaku untuk kalimat matematika yang masih mengandung variabel dan menggunakan tanda ”>” atau “≠”
Jika variabel pada kalimat matematika itu sudah diganti dengan konstanta dan kalimat matematika itu menggunakan tanda “=” maka kalimat yang terjadi disebut kesamaan. Sedang kalimat matematika yang tidak mengandung variabel dan menggunakan tanda “<”, “>” atau “≠” disebut ketidaksamaan.
Di atas telah diberikan definisi-definisi dari pernyataan, variabel, konstanta, dan kalimat terbuka. Pernyataan yang menjelaskan istilah-istilah di atas disebut kalimat definisi. Pada kalimat definisi tidak boleh terdapat kata-kata yang belum jelas artinya, apalagi kata yang sedang didefinisikan.
Bab II
1. Proposisi (pernyataan) Elementer
Perhatikan kalimat di bawah ini :
1. Semarang ibu kota Jawa Tengah
2. ⍺ faktor dari 6
3. Dua adalah bilangan ganjil
4. Mudah-mudahan lulus ujian
5. 2 + 6 = 8
6. X faktor dari 5
7. 5 + 4 < 7
8. Selesaikan soal ini!
9. X + 5 = 9
10. X – 2 < 7
Kalimat pada contoh di atas yang merupakan pernyataan adalah 1, 3, 5, dan 7 sebab kalimat tersebut sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Nilai kebenaran pernyataan di atas berturut-turut: benar, salah, benar dan salah.
Definisi.
Pernyataan adalah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).
Pernyataan di atas sering disebut pernyataan elementer dan selanjutnya dinyatakan dengan simbol p, q, r, s, dan seterusnya.
2. Proposisi Komposit
Misalkan p, q masing-masing proposisi elementer, maka proposisi berikut ini merupakan proposisi komposit
| proposisi komposit | dibaca | disebut |
| p^q | p dan q | konjungsi |
| p V q | p atau q | disjungsi |
| p→q | jika p maka q | implikas |
| p↔q | p jika dan hanya jika q | biimplikasi |
| ~p | ingkaran p | negasi p |
Jadi dapat disimpulkan bahwa
Proposisi komposit adalah proposisi yang memuat perangkai.
Ada 5 macam perangkai:
˄, ˅, →, →, dan ~.
a. Konjungsi
Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q. Konjungsi menggunakan kata penghubung Ù . Pernyataan komposit dengan konjungsi ditulis p Ù q
– Amir sakit dan Amir sudah tua
– A Ç B = {x | x Î A Ù x Î B }
Harga kebenaran dari pernyataan komposit hanya benar (T) bila harga kebenaran dari kedua pernyataan penyusunnya benar
| p | q | p^q |
| F | F | F |
| F | T | F |
| T | F | F |
| T | T | T |
a. Diskonjungsi
Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q. Diskonjungsi menggunakan kata penghubung Ú. Pernyataan komposit dengan konjungsi ditulis p Ú q
a. Amir sakit atau Amir sudah tua
b. A È B = {x | x Î A Ú x Î B }
Harga kebenaran dari pernyataan komposit hanya salah (F) bila harga kebenaran dari kedua pernyataan penyusunnya salah
| p | q | pvq |
| T | F | T |
| F | T | T |
| T | T | T |
| F | F | F |
b. Kondisional
Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q. Condisional menggunakan kata penghubung ®
Pernyataan komposit dengan kondisional ditulis p ® q
– Bila Amir sakit maka Amir sudah tua
– Bila p maka q (if p then q)
Harga kebenaran dari pernyataan komposit selalu benar (T) kecuali jika p benar dan q salah
| p | q | p→q |
| T | T | T |
| F | F | T |
| F | T | T |
| T | F | F |
c. Bikondisional
Diketahui pernyataan-pernyataan p dan q. Condisional menggunakan kata penghubung «
Pernyataan komposit dengan kondisional ditulis p « q
– Bila Amir sakit jika dan hanya jika Amir sudah tua
– p jika dan hanya jika q (p if and only if q) à p iff q
Harga kebenaran dari pernyataan komposit hanya benar (T) bila p dan q mempunyai harga kebenaran yang sama
| p | q | p↔q |
| T | T | T |
| F | F | T |
| F | T | F |
| T | F | F |
d. Negasi
Diketahui suatu pernyataan p . Negasi menggunakan kata penghubung ~
Negasi dari suatu pernyataan ditulis ~ p
– Amir tidak (not) sakit
Harga kebenaran dari negasi suatu pernyataan selalu berlawanan dengan harga kebenaran dari pernyataan asalnya
| p | ~q |
| T | F |
| F | T |
1. Nilai kebenaran Proposisi Komposit
| p | q | p^Q | p→q | p↔q | ~p | |
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F | F |
| F | T | F | T | T | F | T |
| F | F | F | F | T | T | T |
Contoh
Diketahui proposisi elementer:
p: tidak ada segitiga sama kaki yang tumpul.
q: fungsi identitas merupakan fungsi satu-satu.
r: ada belah ketupat yang merupakan persegi panjang.
2. Tabel Kebenaran
Ada dua cara untuk membuat tabel kebenaran dari proposisi komposit.
Contoh:
Buatlah tabel kebenaran proposisi di bawah ini:
a. p → (p˄q)
b. (p ˄ q) → p
c. p ˄ (p ˅ q)
d. (p ˄ q) → r
Penyelesaiannya
A.
| p | q | p^Q | p→( p^Q ) |
| T | T | T | T |
| T | F | F | F |
| F | T | F | T |
| F | F | F | T |
B. Tautologi
| p | q | p^Q | ( p^Q) →p |
| T | T | T | T |
| T | F | F | T |
| F | T | F | T |
| F | F | F | T |
c.
| p | ^ | ~ | (p | v | q) |
| T | F | F | T | T | T |
| T | F | F | T | T | F |
| F | F | F | F | T | T |
| F | F | T | F | F | F |
d
| p | q | r | p^q | (p^q)→ r | |
| T | T | T | T | T | |
| T | T | F | T | F | |
| T | F | T | F | T | |
| T | F | F | F | T | |
| F | T | T | F | T | |
| F | T | F | F | T | |
| F | F | T | F | T | |
| F | F | F | T |
Catatan ;
Hubungan antara banyaknya proposisi elementer dan banyaknya baris pada tabel kebenaran proposisi komposit adalah sebagai berikut :
| Banyak Proposisi Elementer | Banyaknya Baris Pada Tabel |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| n |
3. Tautologi, kontradiksi dan Kontingensi
Perhatikan contoh soal nomor b di atas!
Proposisi (p ˄ q) → p selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya, proposisi tersebut disebut tautologi.
Tautologi adalah proposisi komposit yang selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.
Perhatikan contoh soal nomor c!
Proposisi p ˄ (p ˅ q) selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya. Proposisi tersebut adalah kontradiksi.
Kontradiksi adalah proposisi komposit yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.
Perhatikan contoh nomor a dan d!
Proposisi p → (p ˄ q);(p ˄ q) → r masing-masing bukan tautologi dan bukan kontradiksi. Proposisi tersebut adalah kontingensi.
Kontingensi adalah proposisi komposit yang bukan tautologi dan bukan kontradiksi.
4. Implikasi Logis
Perhatikanlah implikasi di bawah ini!
a. p → (p˄q)
b. (p˄q) → p
c. p→(p˅q)
ternyata
Proposisi a. Kontingensi
Proposisi b. Tautologi
Proposisi c. Diselidiki sebagai berikut
| p | → | (p | ˅ | q) |
| T | T | T | T | T |
| T | T | T | T | F |
| F | T | F | T | T |
| F | T | F | F | F |
Ternyata proposisi p → (p˅q) tautologi
Proposisi b dan c adalah implikasi yang merupakan tautologi dan implikasi tersebut disebut implikasi logis sehingga dapat ditulis dengan :
( p ˄ q) ⇒ p
p⇒ (p ˅ q)
Misalkan P, O masing-maing proposisi komposit, maka proposisi P→Q disebut implikasi logis, jika P→Q tautologi dan dapat P⇒Q,
5. Ekivalen
Perhatikan proposisi komposit p → q dan p ˅ q
Selidikilah apakah kedua proposisi tersebut bernilai sama?
Penyelesaian
| p | q | ~p | p→q | ~p˅q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Ternyata p→q dan ~p˅q mempunyai nilai kebenaran yang sama, maka dikatakan bahwa:
p→q ekivalen ~p˅q ditulis (p→q) ekivalen (~p˅q).
Misalkan P, Q masing-masing proposisi komposit maka P dikatakan Q ditulis P ek Q jika P dan Q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
6. Aljabar Proposisi
7. Hukum-hukum Aljabar Proposisi (Aturan Penggantian)
Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.
1. Hukum idempoten
a. (p˅q) ek p
b. p ˄ p ek p
2. Hukum asosiatif
a. (p˅q) ˅ r ek p ˅(q˅r)
b. (p˄q)˄ r ek p ˄ (q˄r)
3. Hukum Komutatif
a. p˅q ek q˅p
b. p˄q ek q˄p
4. Hukum distributif
a. p ˅ (q˄r) ek (p˅q) ˄ (p˅r)
b. p˄ (q˅r) ek (p˄q) ˅ (p˄r)
5. Hukum Indentitas
a. p˅F ek p
b. p˅T ek T
c. p ˄ F ek F
d. p ˄ T ek p
6. Hukum Komplemen
a. p˅ ~p ek T
b. p ˄ ~p ek F
c. ~(~p) ek p
d. T ek F dan F ek T
7. Tansposisi (Trans)
<br/> p→q ek ~q → ~p
8. Hukum Implikasi
p→q ek ~p ˅ q
9. Hukum Ekivalen (Eki)
a. p↔q ek (p → q) ˄ (q→p)
b. p↔q ek (p ˄ q) ˅ (q ˄ p)
10. Hukum Eksportasi
(p˄q)→ r ek p→(q→r),
11. Hukum De Morgan (DM)
a. ~(p˅q) ek ~p ˄ ~q
b. ~(p˄q) ek ~p ˅ ~q
8. Argumen
Perhatikan sekumpulan proposisi berikut:
1. a. Jika seseorang orang Indonesia maka ia belum pernah ke bulan.
b. Habibie orang Indonesia
c. Habibie belum pernah ke bulan
pada sekumpulan proposisi 1) proposisi c) ditegaskan dari proposisi a) dan b). Oleh karena itu sekumpulan proposisi 1) disebut argumen. Selanjutnya proposisi c) disebut konklusi dari argumen dan proposisi a) dan b) disebut premis dari argumen.
Argumen tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk soesifik:
p→q
p
.•. q
Argumen (dalih ) adalah sekumpulan proposisi sedemikian hingga salah satu dari proposisinya ditegaskan atas dasar dari proposisi lain. Proposisi yang ditegaskan disebut konklusi sedangkan proposisi yang menegaskan disebut premis.
Setiap argumen mempunyai premis dan konklusi. Yang dimaksud konklusi suatu argumen adalah proposisi yang ditegaskan berdasarkan proposisi-proposisi yang lainnya dari argumen tersebut. Sedangkan proposisi yang menegaskan yang memberikan alasan untuk diterimanya konklusi disebut premis.Predikat untuk suatu argumen bukan benar atau salah tetapi sah atau tidak sah. Benar atau salah adalah predikat untuk proposisi.
Aturan Penyimpulan
p→q
p
. .•. q
Modus Tolens
p→q
.•. p
Silogisme
p→q
q→r
.•. p→r
Distruktif Silogisme
p˅q
.•. q
Konstruktif delema
(p→q) ˄ (r→s)
p˅ r
.•. q ˅ s
Distruktif delema
(p→q) ˄ (r→s)
.•.
Simplifikasi
p˄q
.•. p
Adisi
p
.•. p˅q
Konjungsi
p
q
.•. p˄q
masih perlu diedit lagi
BalasHapusSaya masih ga ngerti ~r nya gimana?? Tapi nanti saya pelajari deh, supaya lebih paham
BalasHapusNICE BLOG
TERIMA KASIH YA
Saya masih belum mengerti ~r nya?? Tapi nanti saya pelajari deh, supaya lebih paham ^_^
BalasHapusNice Blog
Terima Kasih yaa