Penarikan kesimpulan

Penarikan Kesimpulan: Modus Ponens dan Modus Tollens

 by Taufiq Hidayat

           

Tulisan-tulisan di kategori Logika Matematika ini hanya ditujukan untuk mereka yang sedang belajar hal-hal dasar tentang Logika Matematika. Akan jarang ditemui hal-hal yang baru di sini. Semoga bermanfaat.

Saat mengajar kuliah Pemrograman Non Prosedural (terutama bagian Pemrograman Logika), saya banyak menemui mahasiswa yang belum memahami kegunaan logika matematika, terutama dalam kehidupan sehari-hari. Padahal tujuan utama semua ilmu adalah membantu kehidupan manusia. Demikian juga dengan logika matematika. Salah satu manfaatnya adalah membantu membuat (menarik) kesimpulan yang benar. Tulisan ini akan membahas tentang teknik penarikan kesimpulan dasar, yaitu Modus Ponens dan Modus Tollens.

Agar cakupannya tidak meluas, jenis logika yang saya pakai di tulisan ini adalah logika proposisi (propositional logic). Dalam logika proposisi, sebuah kalimat dinyatakan dengan sebuah simbol (yang mungkin berindeks).

Contoh 1:

p : saya makan di kelas
q : saya minum di kelas

p q : saya makan di kelas dan saya minum di kelas (disingkat: saya makan dan minum di kelas)

p q : saya makan atau minum di kelas
p q : jika saya makan di kelas maka saya minum di kelas
~ p : saya tidak makan di kelas.

Modus Ponens dan Modus Tollens sebenarnya adalah teknik penarikan kesimpulan dari logika manusia juga. Di Logika Matematika, kedua teknik penarikan kesimpulan tersebut dinyatakan dengan:

Modus Ponens

p q

p
———
Kesimpulan: q

Modus Tollens

p q

¬ q
———
Kesimpulan: ¬ p

Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“. Sedangkan Modus Tollens berarti “jika diketahu p q dan ¬q, maka bisa ditarik kesimpulan ¬p“.

Contoh 2:

Diketahui cerita sederhana berikut: Jika saya makan di kelas maka saya minum di kelas. Saya makan di kelas. Apakah saya minum di kelas?

Solusi:
Menggunakan Contoh 1 di atas, kita memperoleh kalimat matematika:

p q

p

Menggunakan Modus Ponens, maka kita bisa menarik kesimpulan q, yang artinya saya minum di kelas.

—————- []

Contoh 3:

Diketahui cerita sederhana berikut: Jika saya makan di kelas maka saya minum di kelas. Saya tidak minum di kelas. Apakah saya makan di kelas?

Solusi:
Menggunakan Contoh 1 di atas, kita memperoleh kalimat matematika:

p q
¬q

Menggunakan Modus Tollens, maka kita bisa menarik kesimpulan ¬p, yang artinya saya tidak makan di kelas.

—————- []

Contoh 4:

Diketahui cerita sederhana berikut: Jika saya makan di kelas maka saya minum di kelas.  Jika saya minum di kelas maka ruangan kelas menjadi kotor. Saya makan di kelas. Apakah ruangan kotor?

Solusi:

Misalkan:

p : saya makan di kelas
q : saya minum di kelas
r : ruangan kelas menjadi kotor

maka, cerita sederhana tersebut dapat dinyatakan dengan

1: p q
2: q r
3: p

Menggunakan Modus Ponens untuk kalimat 1 dan kalimat 3, maka kita bisa menarik kesimpulan q, yang artinya saya minum di kelas. Kalimat-kalimat matematikanya bisa kita ubah menjadi:

1: p q
2: q r
3: p
4: q

Dengan menggunakan Modus Ponens untuk kalimat 2 dan 4, kita memperoleh kesimpulan r, yang artinya ruangan kelas menjadi kotor.

—————- []

Contoh 5:

Diketahui cerita sederhana berikut: Jika saya makan maka saya tidak belajar. Jika televisi sedang mati maka saya belajar. Saat ini, televisi sedang mati. Apakah saya sedang makan?

Solusi:

Misalkan:

p : saya makan
q : saya belajar
r : televisi mati

maka, cerita sederhana tersebut dapat dinyatakan dengan

1: p ¬q
2: r q
3: r

Kesimpulan dengan Modus Ponens untuk kalimat 2 dan kalimat 3: q.
Kalimat matematika diubah menjadi:

1: p ¬q
2: r q
3: r
4: q

Dengan menggunakan Modus Tollens untuk kalimat 1 dan kalimat 4, kita peroleh kesimpulan ¬p, yang artinya saya tidak makan.

—————- []

Cerita di contoh-contoh di atas adalah sederhana. Namun bukan berarti contoh yang lebih kompleks tidak bisa diselesaikan dengan teknik ini. Berikut adalah contoh dengan cerita yang lebih kompleks.

Contoh 6:

Diketahui cerita berikut: Pak Ali biasa ke kantor menggunakan mobil. Tentu saja jika mobilnya tidak mengalami masalah. Kalau mobilnya punya masalah, dia akan menggunakan angkutan umum. Biasanya dia mengetahui bahwa mobilnya punya masalah saat mau berangkat, menyebabkan dia terlambat tiba di kantor. Tetapi dia juga bisa terlambat meskipun naik mobil karena jalannya macet. Gara-gara terlambat, dia tidak bisa menghabiskan kopinya, yang sudah disediakan di dapur kantor. Pagi ini terlihat kopinya sudah habis. Pertanyaan:
a. Apakah mobil pak Ali bermasalah?
b. Apakah jalanan macet?

Solusi:

Misalkan:

p : mobil Pak Ali bermasalah
q : Pak Ali ke kantor naik mobil
r : Pak Ali ke kantor naik angkutan umum
s : Pak Ali terlambat
t : Jalanan macet
u : Kopinya Pak Ali habis.

maka, cerita tersebut dapat dinyatakan dengan 

1: p r
2: ¬p q
3: r s
4: q Λ t s
5: s ¬u
6: u

Kesimpulan yang bisa diambil:

7: ¬s {Modus Tollens dari 5 dan 6}
8: ¬r {Modus Tollens dari 3 dan 7}
9: ¬p {Modus Tollens dari 1 dan 8}

Arti kalimat 9: mobil Pak Ali tidak bermasalah (Jawaban untuk pertanyaan a).
Kesimpulan untuk menjawab pertanyaan b:

10: q {Modus Ponens dari 2 dan 9}
11: ¬(q t) {Modus Tollens dari 4 dan 7}
12: ¬q ¬t {Hukum de Morgan untuk 11}
13: q → ¬t {Ekuivalensi implikasi dengan 12}
14: ¬t {Modus Ponens dari 10 dan 13}

Kalimat 14 berarti Jalanan tidak macet (Jawaban untuk pertanyaan b).

—————- []

Catatan Tambahan:

Hukum de Morgan:

¬(p q) ≡ (¬p ¬q)
¬(p q) ≡ (¬p ¬q)

Ekuivalensi implikasi:

(p q) ≡ (¬p q)