Pembuktian Teorema Himpunan

               1. Bukti tereoma AUB = BUA

Pilih sembarang elemen x. Kemudian, menurut difinisi himpunan gabungan

AUB = x ϵ(AUB) = xϵA ˅ xϵB

   xϵA ˅ xϵB  .................................................menurut komutatif dari ˅

   xϵB ˅ xϵA

   xϵ BUA.......................................................menurut definisi dari himpunan gabungan 

Akibatnya, setiap elemen merupakan anggota AUB dan juga BUA.

Sehingga AUB = BUA

                 

Sifat-sifat Operasi Himpunan

1.     Idempoten

a.       A∩A = A

b.      AUA = A

2.      Asosiatif

a.       (A∩B)∩C = A ∩ (B∩C)

b.      (AUB)UC = A U (BUC)

Operasi pada Himpunan

Operasi Pada Himpunan

1.      Irisan Dua Himpunan

Misalkan  A dan B adalah himpunan-himpunan. Irisan A dan B (ditulis  A∩B)  adalah semua anggota yang berada dalam himpunan A dan juga berada dalam himpunan B.

Dapat ditulis A∩B = {x| xϵA, xϵB.}

Simbol Matematika

Exe 11-12

Exe 7-10

Exe 1-6

Latihan 4 Soal Diktat

LATIHAN 4

DIKTAT HALAMAN 15

1.       Letakan lambang “⊂”, atau lambang “=” di antara sebanyak mungkin pasangan pasangan himpunan – hinpunan di bawah ini :

2.       Nyatakanlah apakah masing – masing pernyataan berikut ini benar atau salah.

3.   

Latihan 3 Soal Diktat

Tugas PDM

LATIHAN 3

DIKTAT HALAMAN 9

1.       Misalkan A = {a, b, c, d}

a.       Tulislah semua himpunan bagian dari A.

b.      Berapakah banyaknya himpunan bagian dari A.

2.       Apakah setiap himpunan mempunyai himpunan bagian sejati ?

3.       Misalkan P adalah himpunan, jika P ⊂ ⌀, buktikanlah bahwa P = ⌀.

4.       Misalkan A, B, dan C masing – masing adalah himpunan, jika A ⊂ B dan B ⊂ C, buktikan bahwa A ⊂ C.

5.       Misalkan A = {{3}, {4, 5}, {1, 3}}, pernyataan – pernyataan manakah yang benar ? Mengapa ?

Argumen dan aljabar proposisi

Argumen dan
Aljabar Proposisi

PDM Session 2

Ardhi Prabowo, Unnes, 2009

Argumen

• Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen. 

• Pernyataan-pernyataan dalam sebuah argumen haruslah memiliki hubungan satu dengan yang lainnya.

• Contoh argumen (1)

a.       Setiap penyanyi dangdut pandai bergoyang

b.      Rhoma irama adalah penyanyi dangdut

      Jadi Rhoma irama pandai bergoyang.

Logika, Proporsi dan Komponen Penghubungnya

Pengertian Logika, Proporsi, dan Komponen Penghubungnya

Materi Kuliah Pengantar Dasar Matematika

by Ardhi Prabowo

Universitas Negeri Semarang

1. Logika dan Kalimat Berarti 

Agar komunikasi dapat dimengerti digunakan logika sebagai kontrol. Dalam matematika, bahasa komunikasinya disebut kalimat matematika yaitu kalimat yang menggunakan lambang-lambang matematika.

Kalimat berarti terbagi atas: Kalimat Pernyataan dan Bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka)

Contoh:

(silahkan sebutkan yang contoh dan yang tak contoh)

Jadi apakah yang disebut dengan pernyataan (proporsi)?

Uraian Exercise 2

1. Pernyataan : Jika hasil produk melimpah maka harganya turun.
     Konvers              : Jika harga produk turun maka hasil produk melimpah.                                         
     Invers                  : Jika hasil produk tidak melimpah maka harganya tidak turun.
     Kontraposisi        : Jika harga produk tidak turun maka hasil produk tidak melimpah.
                                            

Himpunan (Matematika)

Himpunan (matematika)

 

Referensi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Contoh Soal Permutasi dan kombinasi

Soal-Soal Probabilitas

1.       ada berapa  cara pelat mobil dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 3 huruf yang berbeda serta 4 angka yang berbeda dengan angka pertama tidak boleh 0.

jawab :

26 . 25 . 24.  9. 9. 8. 7 = ......

2.       Adam pergi bertamasya dari kota A menuju kota C melalui kota B. ada 4 jalur bis antara kota A dan kota B dan 5 jalur bis antara kota B menuju C. Berapa cara Adam dapat mengadakan perjalanan pulang pergi dari kota A ke C dengan syarat  tidak boleh melalui jalur yang sama.

jawab:

4.5. 3. 4 =....

3.       ada berapa  cara dari 10 buku yang berbeda dapat disusun dalam sebuah rak yang memanjang, jika ada tiga buku yang bersama-sama maka ada berapa penyusunan yang mungkin?

jawab :

3.2.1.        8.7.6.5.4.3.2.1 =.....

Soal Probabilitas

=======================
Permutasi
Soal No 1
Dari 10 siswa akan duduk pada 3 kursi yang berlainan warna (missal merah, kunig dan Hijau). Tentukan banyaknya macam / paket para siswa duduk pada kursi tersebut ?
Soal No 2
Pengurus Osis akan dipilih dari 5 laki-laki dan 4 perempuan. Bila banyaknya pengurus Osis yang harus terpilih adalah 3 laki-laki dan 2 perempuan, sementara jabatan yang harus ditempati adalah Ketua, wakil ketua, sekretaris I, Sekretaris II dan Bendahara Tentukan banyaknya susunan pengurus Osis Terpilih ?
Soal No 3
Sekelompok siswa terdiri dari 5 orang anggota Pramuka, 4 orang anggota Paskibra dan 6 orang anggota PMR akan duduk pada bangku yang memanjang. Tentukan banyaknya macam duduk
a. Seluruh para siswa
b. Para siswa anggota pramuka selalu berdampingan
c. Sesama anggota Pramuka dan juga sesama anggota PMR selalu berdampingan.
d. Para Anggota PMR selalu duduk di kedua sisi bangku

Urain Exercise

1. (p Ʌ q ) => r

                                           Konvers     r =>  (p Ʌ q )

                                                                  ek     ̴r V  ( p Ʌ q)

                                           Invers          ̴( p Ʌ q ) => r

                                                                  ek   (  ̴p V   ̴q ) => r

                                                                  ek   P Ʌ q V r

                                          Kontra        ̴r  =>    ̴ ( p Ʌ q )

                                                                  ek   r  V   ̴p V   ̴q


              
                    2. P => ( q Ʌ r )

                             Konvers        q  Ʌ  r => p

                                                    ek    ̴q V   ̴r V p

                            Invers              ̴ p =>    ̴( q Ʌ r 0

                                                   ek  p V   ̴ q  V   ̴ r

                           Kontra             ̴( q Ʌ r ) =>   ̴ p

                                                  ek    ̴q V   ̴ r  =>   ̴ p

            

Exercise 2

• Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi pernyataan:

1. Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.
2. Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
3. Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.
4. Jika x > 10 maka x2 > 100
5. Jika x2 – 16 = 0 , maka x = 4 atau x = – 4.
6. Jika sin x = 90o – cosx , maka x merupakan sudut lancip.
7. Jika tan x = -1, maka x = 135o dan x = 315o

Exercise 1

tentukan ivers, konvers dan kontraposisi dari proposisi berikut :
1.
2. 
3. 
4. 
5. 
6.

Konvers, invers, kontraposisi suatu implikasi serta negasinya

KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI SUATU IMPLIKASI SERTA NEGASINYA 

Pengertian dan Contohnya Perhatikan pernyataan ini:
Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut.
 Bentuk umum implikasi di atas adalah: ‘’ dengan  p : Bendera RI, dan  q  : Bendera yang ada warna merahnya. Dari implikasi di atas, dapat dibentuk tiga implikasi lainnya, yaitu: (1)konversnya, yaitu  ; p; (2) inversnya, yaitu ; dan (3) kontraposisinya, yaitu . Dengan demikian; konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi  “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut.” berturut-turut adalah:
1.  Jika suatu bendera ada warna merahnya maka bendera tersebut adalah bendera RI .
2.  Jika suatu bendera bukan bendera RI maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya
.
3.  Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI .

Pengertian logika dan pernyataannya

A. PENGERTIAN LOGIKA

       Ada pernyataan menarik yang dikemukakan mantan Presiden AS ThomasJefferson sebagaimana dikutip Copi (1978) berikut ini: " In a republican nation, whosecitizens are to be led by reason and persuasion and not by force, the art of reasoningbecomes of first importance" (p. vii).Pernyataan itu menunjukkan pentingnya logika, penalaran dan argumentasi dipelajari dan dikembangkan di suatu negara sehingga setiap warga negara akan dapat dipimpin dengan daya nalar (otak) dan bukannya dengan kekuatan (otot) saja. Karenanya, seperti yang dinyatakan mantan Presiden AS tadi, senibernalar merupakan hal yang sangat penting. Di samping itu, Copi (1978) juga mengutippendapat Juliana Geran Pilon yang senada dengan yang diucapkan mantan Presiden AStadi: "Civilized life depends upon the success of reason in social intercourse, theprevalence of logic over violence in interpersonal conflict"(p. vii).  

       Dua pernyataan di atas telah menunjukkan pentingnya penalaran (reasoning)dalam percaturan politik dan pemerintahan di suatu negara. Tidak hanya di bidangketatanegaraan maupun hukum saja kemampuan bernalar itu menjadi penting. Di saatmempelajari matematika maupun ilmu-ilmu lainnya penalaran itu menjadi sangat pentingdan menentukan. Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani'logos' yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah,  1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan- penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid,incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan  yang diketahui benar  atau dianggap benar itu sering juga disebut dengan penalaran (reasoning).

Contoh soal materi konvers, invers dan kontraposisi

Materi pokok : Invers, Konvers, Kontraposisi

1.Kontraposisi dari pernyataan majemuk   adalah  

1. ( p q ) p
2. (p q ) p
3. ( p q ) p
4. (p q ) p
5. ( p q ) p

Soal Ujian Nasional tahun 2001

2. Invers dari pernyataan p ( p Λ q )

a.(p q ) p

b. p q ) p

c. p (p q )

d. p (p q )

e. ~ (p q )

Soal Ujian Nasional tahun 2005